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Cマガ電脳クラブ(第039回) Nペンタキューブ

問題

一辺の長さが1の立方体5個を面同士でつないでできた立体をペンタキューブといい、いろいろな形が考えられる。
その中で、Fig.1(a)をUペンタキューブ、Fig.1(b)をNペンタキューブと呼んでいる。

さて,Uペンタキューブで直方体を作る場合、6ピースで2×3×5の直方体ができる。
それではNペンタキューブだけで直方体を組むには最低何ピース必要だろうか。

Fig.1(a) Uペンタキューブ


Fig.1(b) Nペンタキューブ


ソース

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

class Program
{
    //配置候補
    static List<bool[, ,]> HaitiKouhoList;

    static int UB_X;
    static int UB_Y;
    static int UB_Z;

    struct JyoutaiDef
    {
        internal int Level;
        internal char[, ,] BanArr;
        internal int CurrX;
        internal int CurrY;
        internal int CurrZ;
    }

    static void Main()
    {
        for (int I = 1; I <= 10; I++) {
            List<int[]> XYZArrList = DeriveXYZArrListFromTaiseki(I * 5);

            Console.WriteLine("Nペンタキューブ{0}個分の体積でのXYZの組み合わせは、{1}通り",
                I, XYZArrList.Count);

            foreach (int[] EachArr in XYZArrList) {
                Console.Write("X={0},Y={1},Z={2}の直方体を、", EachArr[0], EachArr[1], EachArr[2]);
                Console.WriteLine("Nペンタキューブ{0}個で作成できるか検証中", I);

                if (CanCreateTyokuhoutai(EachArr[0], EachArr[1], EachArr[2])) {
                    Console.WriteLine("直方体を作成できました。");
                    return;
                }
                Console.WriteLine("直方体を作成できません。");
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }

    //体積から直方体のX,Y,Zを列挙する。(X > Y > Z とする)
    static List<int[]> DeriveXYZArrListFromTaiseki(int pTaiseki)
    {
        var XYZArrList = new List<int[]>();
        for (int Z = 1; Z <= pTaiseki; Z++) {
            for (int Y = Z; Y * Z <= pTaiseki; Y++) {
                for (int X = Y; X * Y * Z <= pTaiseki; X++) {
                    if (X * Y * Z == pTaiseki)
                        XYZArrList.Add(new int[] { X, Y, Z });
                }
            }
        }

        return XYZArrList;
    }

    //X,Y,Zを引数として、直方体をYペンタキューブで作成可能かを返す
    static bool CanCreateTyokuhoutai(int pX, int pY, int pZ)
    {
        int[, ,] QuestionArr = new int[pX, pY, pZ];

        UB_X = QuestionArr.GetUpperBound(0);
        UB_Y = QuestionArr.GetUpperBound(1);
        UB_Z = QuestionArr.GetUpperBound(2);

        HaitiKouhoList = DeriveHaitiKouhoList();

        var stk = new Stack<JyoutaiDef>();
        JyoutaiDef WillPush;
        WillPush.Level = 0;
        WillPush.BanArr = new char[UB_X + 1, UB_Y + 1, UB_Z + 1];
        for (int X = 0; X <= UB_X; X++)
            for (int Y = 0; Y <= UB_Y; Y++)
                for (int Z = 0; Z <= UB_Z; Z++)
                    WillPush.BanArr[X, Y, Z] = ' ';

        WillPush.CurrX = WillPush.CurrY = WillPush.CurrZ = 0;
        stk.Push(WillPush);

        while (stk.Count > 0) {
            JyoutaiDef Popped = stk.Pop();

            //クリア判定
            if (Popped.BanArr.Cast<char>().All(X => X != ' ')) {
                Console.WriteLine("解を発見");
                PrintAnswer(Popped.BanArr);
                return true;
            }

            //X座標の繰上げ処理
            if (Popped.CurrX > UB_X) {
                Popped.CurrX = 0;
                Popped.CurrY++;
            }

            //最終行を超えた場合
            if (Popped.CurrY > UB_Y) {
                Popped.CurrY = 0;

                //最終高さを超えた場合
                if (++Popped.CurrZ > UB_Z) continue;
            }

            //ピースの配置候補リスト
            List<bool[, ,]> wkHaitiKouhoList = new List<bool[, ,]>(HaitiKouhoList);

            //現在のマス目が空白の場合は、マス目を埋める必要あり
            if (Popped.BanArr[Popped.CurrX, Popped.CurrY, Popped.CurrZ] == ' ') {
                wkHaitiKouhoList.RemoveAll(X => X[0, 0, 0] == false);
            }

            //マス目にピースを埋めれない候補をRemove
            wkHaitiKouhoList.RemoveAll(X =>
                CanFillPiece(X, Popped.CurrX, Popped.CurrY, Popped.CurrZ, Popped.BanArr) == false);

            //ピースを配置する経路のPush処理
            foreach (bool[, ,] AnyPieceMap in wkHaitiKouhoList) {
                WillPush.Level = Popped.Level + 1;
                WillPush.BanArr = (char[, ,])Popped.BanArr.Clone();
                WillPush.CurrX = Popped.CurrX;
                WillPush.CurrY = Popped.CurrY;
                WillPush.CurrZ = Popped.CurrZ;

                for (int X = 0; X <= AnyPieceMap.GetUpperBound(0); X++) {
                    for (int Y = 0; Y <= AnyPieceMap.GetUpperBound(1); Y++) {
                        for (int Z = 0; Z <= AnyPieceMap.GetUpperBound(2); Z++) {
                            if (AnyPieceMap[X, Y, Z] == false) continue;
                            WillPush.BanArr[Popped.CurrX + X, Popped.CurrY + Y, Popped.CurrZ + Z]
                                = DecToStr(WillPush.Level);
                        }
                    }
                }
                stk.Push(WillPush);
            }

            //現在のマス目が空白でない場合は、ピースを配置しない経路のPush
            if (Popped.BanArr[Popped.CurrX, Popped.CurrY, Popped.CurrZ] != ' ') {
                WillPush.Level = Popped.Level;
                WillPush.BanArr = Popped.BanArr;
                WillPush.CurrX = Popped.CurrX + 1;
                WillPush.CurrY = Popped.CurrY;
                WillPush.CurrZ = Popped.CurrZ;
                stk.Push(WillPush);
            }
        }

        return false;
    }

    //10進数をchar型に変換
    static char DecToStr(int pInt)
    {
        if (pInt < 10) return (char)((int)'1' + pInt - 1);
        return (char)((int)'A' + pInt - 10);
    }

    //回転させた配置のListを返す
    static List<bool[, ,]> DeriveHaitiKouhoList()
    {
        bool[, ,] wkArr = null;

        //Uペンタキューブでの検証用
        //■ ■
        //■■■
        //wkArr = new bool[3, 2, 1];
        //wkArr[0, 0, 0] = true; wkArr[1, 0, 0] = false; wkArr[2, 0, 0] = true;
        //wkArr[0, 1, 0] = wkArr[1, 1, 0] = wkArr[2, 1, 0] = true;

        //Nペンタキューブ
        // ■ 
        // ■
        //■■
        //■
        wkArr = new bool[2, 4, 1];
        wkArr[0, 0, 0] = false; wkArr[1, 0, 0] = true;
        wkArr[0, 1, 0] = false; wkArr[1, 1, 0] = true;
        wkArr[0, 2, 0] = wkArr[1, 2, 0] = true;
        wkArr[0, 3, 0] = true; wkArr[1, 3, 0] = false;

        return DeriveKaitenArrList(wkArr);
    }

    //配列を引数として、回転させた配列のリストをDistinctして返す
    static List<bool[, ,]> DeriveKaitenArrList(bool[, ,] pBaseArr)
    {
        var KaitenArrList = new List<bool[, ,]>();

        int BaseUB_X = pBaseArr.GetUpperBound(0);
        int BaseUB_Y = pBaseArr.GetUpperBound(1);
        int BaseUB_Z = pBaseArr.GetUpperBound(2);

        for (int I = 1; I <= 48; I++) KaitenArrList.Add(null);
        for (int P = 0; P <= 7; P++) KaitenArrList[P] = new bool[BaseUB_X + 1, BaseUB_Y + 1, BaseUB_Z + 1];
        for (int P = 8; P <= 15; P++) KaitenArrList[P] = new bool[BaseUB_X + 1, BaseUB_Z + 1, BaseUB_Y + 1];
        for (int P = 16; P <= 23; P++) KaitenArrList[P] = new bool[BaseUB_Y + 1, BaseUB_X + 1, BaseUB_Z + 1];
        for (int P = 24; P <= 31; P++) KaitenArrList[P] = new bool[BaseUB_Y + 1, BaseUB_Z + 1, BaseUB_X + 1];
        for (int P = 32; P <= 39; P++) KaitenArrList[P] = new bool[BaseUB_Z + 1, BaseUB_X + 1, BaseUB_Y + 1];
        for (int P = 40; P <= 47; P++) KaitenArrList[P] = new bool[BaseUB_Z + 1, BaseUB_Y + 1, BaseUB_X + 1];

        for (int X = 0; X <= BaseUB_X; X++) {
            for (int Y = 0; Y <= BaseUB_Y; Y++) {
                for (int Z = 0; Z <= BaseUB_Z; Z++) {
                    bool SetVal = pBaseArr[X, Y, Z];
                    KaitenArrList[0][X, Y, Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[1][X, Y, BaseUB_Z - Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[2][X, BaseUB_Y - Y, Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[3][X, BaseUB_Y - Y, BaseUB_Z - Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[4][BaseUB_X - X, Y, Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[5][BaseUB_X - X, Y, BaseUB_Z - Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[6][BaseUB_X - X, BaseUB_Y - Y, Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[7][BaseUB_X - X, BaseUB_Y - Y, BaseUB_Z - Z] = SetVal;

                    KaitenArrList[8][X, Z, Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[9][X, Z, BaseUB_Y - Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[10][X, BaseUB_Z - Z, Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[11][X, BaseUB_Z - Z, BaseUB_Y - Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[12][BaseUB_X - X, Z, Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[13][BaseUB_X - X, Z, BaseUB_Y - Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[14][BaseUB_X - X, BaseUB_Z - Z, Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[15][BaseUB_X - X, BaseUB_Z - Z, BaseUB_Y - Y] = SetVal;

                    KaitenArrList[16][Y, X, Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[17][Y, X, BaseUB_Z - Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[18][Y, BaseUB_X - X, Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[19][Y, BaseUB_X - X, BaseUB_Z - Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[20][BaseUB_Y - Y, X, Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[21][BaseUB_Y - Y, X, BaseUB_Z - Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[22][BaseUB_Y - Y, BaseUB_X - X, Z] = SetVal;
                    KaitenArrList[23][BaseUB_Y - Y, BaseUB_X - X, BaseUB_Z - Z] = SetVal;

                    KaitenArrList[24][Y, Z, X] = SetVal;
                    KaitenArrList[25][Y, Z, BaseUB_X - X] = SetVal;
                    KaitenArrList[26][Y, BaseUB_Z - Z, X] = SetVal;
                    KaitenArrList[27][Y, BaseUB_Z - Z, BaseUB_X - X] = SetVal;
                    KaitenArrList[28][BaseUB_Y - Y, Z, X] = SetVal;
                    KaitenArrList[29][BaseUB_Y - Y, Z, BaseUB_X - X] = SetVal;
                    KaitenArrList[30][BaseUB_Y - Y, BaseUB_Z - Z, X] = SetVal;
                    KaitenArrList[31][BaseUB_Y - Y, BaseUB_Z - Z, BaseUB_X - X] = SetVal;

                    KaitenArrList[32][Z, X, Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[33][Z, X, BaseUB_Y - Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[34][Z, BaseUB_X - X, Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[35][Z, BaseUB_X - X, BaseUB_Y - Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[36][BaseUB_Z - Z, X, Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[37][BaseUB_Z - Z, X, BaseUB_Y - Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[38][BaseUB_Z - Z, BaseUB_X - X, Y] = SetVal;
                    KaitenArrList[39][BaseUB_Z - Z, BaseUB_X - X, BaseUB_Y - Y] = SetVal;

                    KaitenArrList[40][Z, Y, X] = SetVal;
                    KaitenArrList[41][Z, Y, BaseUB_X - X] = SetVal;
                    KaitenArrList[42][Z, BaseUB_Y - Y, X] = SetVal;
                    KaitenArrList[43][Z, BaseUB_Y - Y, BaseUB_X - X] = SetVal;
                    KaitenArrList[44][BaseUB_Z - Z, Y, X] = SetVal;
                    KaitenArrList[45][BaseUB_Z - Z, Y, BaseUB_X - X] = SetVal;
                    KaitenArrList[46][BaseUB_Z - Z, BaseUB_Y - Y, X] = SetVal;
                    KaitenArrList[47][BaseUB_Z - Z, BaseUB_Y - Y, BaseUB_X - X] = SetVal;
                }
            }
        }

        //Distinctする
        for (int I = KaitenArrList.Count - 1; 0 <= I; I--) {
            for (int J = 0; J <= I - 1; J++) {
                //UBが違う場合は、同一でない
                if (KaitenArrList[I].GetUpperBound(0) != KaitenArrList[J].GetUpperBound(0)) continue;
                if (KaitenArrList[I].GetUpperBound(1) != KaitenArrList[J].GetUpperBound(1)) continue;
                if (KaitenArrList[I].GetUpperBound(2) != KaitenArrList[J].GetUpperBound(2)) continue;

                IEnumerable<bool> wkEnum1 = KaitenArrList[I].Cast<bool>();
                IEnumerable<bool> wkEnum2 = KaitenArrList[J].Cast<bool>();
                if (wkEnum1.SequenceEqual(wkEnum2) == false) continue;

                KaitenArrList.RemoveAt(I);
                break;
            }
        }
        return KaitenArrList;
    }


    //マス目にピースを埋めれるか
    static bool CanFillPiece(bool[, ,] pPieceMap,
        int pTargetX, int pTargetY, int pTargetZ, char[, ,] pBanArr)
    {
        for (int X = 0; X <= pPieceMap.GetUpperBound(0); X++) {
            if (pTargetX + X > UB_X) return false;
            for (int Y = 0; Y <= pPieceMap.GetUpperBound(1); Y++) {
                if (pTargetY + Y > UB_Y) return false;
                for (int Z = 0; Z <= pPieceMap.GetUpperBound(2); Z++) {
                    if (pTargetZ + Z > UB_Z) return false;
                    if (pPieceMap[X, Y, Z]
                     && pBanArr[pTargetX + X, pTargetY + Y, pTargetZ + Z] != ' ')
                        return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }

    //解を出力
    static void PrintAnswer(char[, ,] pBanArr)
    {
        var sb = new System.Text.StringBuilder();

        for (int Z = 0; Z <= UB_Z; Z++) {
            sb.AppendFormat("Z={0}の平面", Z);
            sb.AppendLine();
            for (int Y = 0; Y <= UB_Y; Y++) {
                for (int X = 0; X <= UB_X; X++) {
                    sb.Append(pBanArr[X, Y, Z]);
                }
                sb.AppendLine();
            }
        }
        Console.WriteLine(sb.ToString());
    }
}


実行結果

省略
Nペンタキューブ8個分の体積でのXYZの組み合わせは、6通り
X=40,Y=1,Z=1の直方体を、Nペンタキューブ8個で作成できるか検証中
直方体を作成できません。
X=20,Y=2,Z=1の直方体を、Nペンタキューブ8個で作成できるか検証中
直方体を作成できません。
X=10,Y=4,Z=1の直方体を、Nペンタキューブ8個で作成できるか検証中
直方体を作成できません。
X=8,Y=5,Z=1の直方体を、Nペンタキューブ8個で作成できるか検証中
直方体を作成できません。
X=10,Y=2,Z=2の直方体を、Nペンタキューブ8個で作成できるか検証中
直方体を作成できません。
X=5,Y=4,Z=2の直方体を、Nペンタキューブ8個で作成できるか検証中
解を発見
Z=0の平面
12223
14443
55663
66677
Z=1の平面
22888
18844
15553
17773

直方体を作成できました。


解説

Nペンタキューブの数を1からインクリメントしていって、
体積から直方体のXYZの候補を求めて、その直方体をNペンタキューブのみで作成できるかを検証してます。

ちなみにUペンタキューブ6ピースで2×3×5の直方体を作る際のピース配置は下記です。
Z=0の平面
11233
14243
11233
Z=1の平面
55266
54446
55266

 ̄torito_ ジャグラー小田原の箱詰めパズル天国 6.Nペンタキューブ