No.219 巨大数の概算

■■■問題■■■

累乗数の概算をしたいと思います。
AのB乗 ≒ X.Y * (10のZ乗) (A,B,X,Y,Zは整数、Xは1以上9以下、Yは0以上9以下、なおYより下位は切り捨てとする)

A,Bが複数与えられるので、あてはまるX,Y,Zを求めて下さい。なおZは0になることはないとします。

ただし、誤差の許容として、有効な出力をそれが表現する値で順序付けした時、
想定解の出力の1つ隣に該当する値も許容する。

例えば 1.0 * (10の8乗)が想定解の時
    1 0 8
以下の2つも正解とする。
1.1 * (10の8乗)
    1 1 8
9.9 * (10の7乗)
    9 9 7

■■■入力■■■

N
A1 B1
・・・
AN BN

A,B: 累乗のパラメータ
1 <= N <= 1万
2 <= A <= 21億 , 2 <= B <= 21億
10 <= AのB乗

■■■出力■■■

X1 Y1 Z1
・・・
XN YN ZN

X,Y,Z: 概算結果

C#のソース

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

class Program
{
    static string InputPattern = "Input1";

    static List<string> GetInputList()
    {
        var WillReturn = new List<string>();

        if (InputPattern == "Input1") {
            WillReturn.Add("2");
            WillReturn.Add("2 10");
            WillReturn.Add("9 9");
            //1 0 3
            //3 8 8
            //9の9乗は387420489です。これは9桁の数(10の8乗オーダー)であり、
            //最上位の数は3、上から2番目の数は8です。
            //上から3番目の数は7ですが、切り捨てます。 
        }
        else {
            string wkStr;
            while ((wkStr = Console.ReadLine()) != null) WillReturn.Add(wkStr);
        }
        return WillReturn;
    }

    struct ABInfoDef
    {
        internal int A;
        internal int B;
    }

    static void Main()
    {
        List<string> InputList = GetInputList();

        var ABInfoList = new List<ABInfoDef>();
        foreach (string EachStr in InputList.Skip(1)) {
            int[] wkArr = EachStr.Split(' ').Select(X => int.Parse(X)).ToArray();
            ABInfoList.Add(new ABInfoDef() { A = wkArr[0], B = wkArr[1] });
        }

        ABInfoList.ForEach(Solve);
    }

    struct ResultInfoDef
    {
        internal double X;
        internal double Y;
        internal double Z;
    }

    static void Solve(ABInfoDef pABInfo)
    {
        double Sahen = pABInfo.B * Math.Log10(pABInfo.A);

        //丸め誤差が一番小さい値を解とする
        var ResultInfoList = new List<ResultInfoDef>();

        for (double X = 1; X <= 9; X++) {
            for (double Y = 0; Y <= 9; Y++) {
                double Z = Sahen - Math.Log10(X + Y / 10);
                if (Math.Round(Z) == 0) continue;

                ResultInfoList.Add(new ResultInfoDef() { X = X, Y = Y, Z = Z });
            }
        }

        ResultInfoDef Answer =
            ResultInfoList.OrderBy(A => Math.Abs(A.Z - Math.Truncate(A.Z))).First();
        Console.WriteLine("{0} {1} {2}", Answer.X, Answer.Y, Math.Round(Answer.Z));
    }
}

解説

AのB乗 ≒ X.Y * (10のZ乗)
の両辺で、10の対数を取り
B*Log10(A) = Log10(X.Y) + Z
Zについて解くと
B*Log10(A) - Log10(X.Y) = Z
となり、Zは1以上の整数なので
Zを最も近い整数に変換した際の丸め誤差が最小になる(X,Y)を全探索してます。