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C#のソース

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

class Program
{
    static string InputPattern = "InputX";

    static List<string> GetInputList()
    {
        var WillReturn = new List<string>();

        if (InputPattern == "Input1") {
            WillReturn.Add("3 3");
            WillReturn.Add("10 1");
            WillReturn.Add("10 10");
            WillReturn.Add("1 10");
            WillReturn.Add("1 10 1");
            WillReturn.Add("1 10 1");
            //9
        }
        else if (InputPattern == "Input2") {
            WillReturn.Add("7 11");
            WillReturn.Add("42 77 94 76 40 66 43 28 66 23");
            WillReturn.Add("27 34 41 31 83 13 64 69 81 82");
            WillReturn.Add("23 81 0 22 39 51 4 37 84 43");
            WillReturn.Add("62 37 82 86 26 67 45 78 85 2");
            WillReturn.Add("79 18 72 62 68 84 69 88 19 48");
            WillReturn.Add("0 27 21 51 71 13 87 45 39 11");
            WillReturn.Add("74 57 32 0 97 41 87 96 17 98");
            WillReturn.Add("69 58 76 32 51 16 38 68 86 82 64");
            WillReturn.Add("53 47 33 7 51 75 43 14 96 86 70");
            WillReturn.Add("80 58 12 76 94 50 59 2 1 54 25");
            WillReturn.Add("14 14 62 28 12 43 15 70 65 44 41");
            WillReturn.Add("56 50 50 54 53 34 16 3 2 59 88");
            WillReturn.Add("27 85 50 79 48 86 27 81 78 78 64");
            //498
        }
        else if (InputPattern == "Input3") {
            WillReturn.Add("4 4");
            WillReturn.Add("0 0 0");
            WillReturn.Add("0 0 0");
            WillReturn.Add("0 0 0");
            WillReturn.Add("0 0 0");
            WillReturn.Add("0 0 0 0");
            WillReturn.Add("0 0 0 0");
            WillReturn.Add("0 0 0 0");
            //0
        }
        else {
            string wkStr;
            while ((wkStr = Console.ReadLine()) != null) WillReturn.Add(wkStr);
        }
        return WillReturn;
    }

    struct EdgeInfoDef
    {
        internal int ToX;
        internal int ToY;
        internal int Cost;
        internal int Kind;
    }
    static Dictionary<int, List<EdgeInfoDef>> mNodeInfoListDict = new Dictionary<int, List<EdgeInfoDef>>();

    static int UB_X;
    static int UB_Y;

    static void Main()
    {
        List<string> InputList = GetInputList();
        int[] wkArr = InputList[0].Split(' ').Select(pX => int.Parse(pX)).ToArray();
        int R = wkArr[0];
        int C = wkArr[1];
        UB_X = C - 1;
        UB_Y = R - 1;

        int[,] AArr = CreateBanArr(InputList.Skip(1).Take(R));
        int[,] BArr = CreateBanArr(InputList.Skip(1 + R));

        for (int LoopX = 0; LoopX <= UB_X; LoopX++) {
            for (int LoopY = 0; LoopY <= UB_Y; LoopY++) {
                int Hash = GetHash(LoopX, LoopY);
                mNodeInfoListDict[Hash] = new List<EdgeInfoDef>();

                if (LoopX < UB_X) {
                    EdgeInfoDef WillAdd;
                    WillAdd.ToX = LoopX + 1;
                    WillAdd.ToY = LoopY;
                    WillAdd.Cost = AArr[LoopX, LoopY];
                    WillAdd.Kind = 1;
                    mNodeInfoListDict[Hash].Add(WillAdd);
                }

                if (0 < LoopX) {
                    EdgeInfoDef WillAdd;
                    WillAdd.ToX = LoopX - 1;
                    WillAdd.ToY = LoopY;
                    WillAdd.Cost = AArr[LoopX - 1, LoopY];
                    WillAdd.Kind = 1;
                    mNodeInfoListDict[Hash].Add(WillAdd);
                }

                if (LoopY < UB_Y) {
                    EdgeInfoDef WillAdd;
                    WillAdd.ToX = LoopX;
                    WillAdd.ToY = LoopY + 1;
                    WillAdd.Cost = BArr[LoopX, LoopY];
                    WillAdd.Kind = 1;
                    mNodeInfoListDict[Hash].Add(WillAdd);
                }

                if (0 < LoopY) {
                    EdgeInfoDef WillAdd;
                    WillAdd.ToX = LoopX;
                    WillAdd.ToY = LoopY - 1;
                    WillAdd.Cost = 1;
                    WillAdd.Kind = 2;
                    mNodeInfoListDict[Hash].Add(WillAdd);
                }
            }
        }
        Dijkstra();
    }

    static int GetHash(int pX, int pY)
    {
        return pX * 1000 + pY;
    }

    //ダイクストラ法で、各ノードまでの最短距離を求める
    static void Dijkstra()
    {
        var InsPQueue = new PQueue();

        // 距離合計[確定ノード]なDict
        var KakuteiNodeDict = new Dictionary<int, int>();
        KakuteiNodeDict.Add(GetHash(0, 0), 0);

        //Enqueue処理
        Action<int, int, int> EnqueueAct = (pCurrX, pCurrY, pKind) =>
        {
            int CurrHash = GetHash(pCurrX, pCurrY);
            if (mNodeInfoListDict.ContainsKey(CurrHash) == false) {
                return;
            }
            foreach (EdgeInfoDef EachEdge in mNodeInfoListDict[CurrHash]) {
                int ToHash = GetHash(EachEdge.ToX, EachEdge.ToY);

                // 確定ノードならContinue
                if (KakuteiNodeDict.ContainsKey(ToHash)) continue;

                int wkSumCost = KakuteiNodeDict[CurrHash] + EachEdge.Cost;

                PQueue.PQueueJyoutaiDef WillEnqueue;
                WillEnqueue.CurrX = EachEdge.ToX;
                WillEnqueue.CurrY = EachEdge.ToY;
                WillEnqueue.SumCost = wkSumCost;
                if (EachEdge.Kind == 2 && pKind != 2) {
                    WillEnqueue.SumCost++;
                }
                WillEnqueue.CurrKind = EachEdge.Kind;

                WillEnqueue.SumCost *= 10;
                if (EachEdge.Kind != 2) {
                    WillEnqueue.SumCost++;
                }

                InsPQueue.Enqueue(WillEnqueue);
            }
        };
        EnqueueAct(0, 0, -1);

        int GoalHash = GetHash(UB_X, UB_Y);
        while (InsPQueue.IsEmpty() == false) {
            PQueue.PQueueJyoutaiDef Dequeued = InsPQueue.Dequeue();
            int CurrHash = GetHash(Dequeued.CurrX, Dequeued.CurrY);

            Dequeued.SumCost /= 10;

            //確定ノードならContinue
            if (KakuteiNodeDict.ContainsKey(CurrHash)) continue;

            KakuteiNodeDict.Add(CurrHash, Dequeued.SumCost);

            // 枝切り
            if (CurrHash == GoalHash) break;

            EnqueueAct(Dequeued.CurrX, Dequeued.CurrY, Dequeued.CurrKind);
        }
        Console.WriteLine(KakuteiNodeDict[GoalHash]);
    }

    ////////////////////////////////////////////////////////////////
    // IEnumerable<string>をintの2次元配列に設定する
    ////////////////////////////////////////////////////////////////
    static int[,] CreateBanArr(IEnumerable<string> pStrEnum)
    {
        var StrList = pStrEnum.ToList();
        if (StrList.Count == 0) {
            return new int[0, 0];
        }

        int[] IntArr = { };
        Action<string> SplitAct = pStr =>
            IntArr = pStr.Split(' ').Select(pX => int.Parse(pX)).ToArray();

        SplitAct(StrList[0]);

        int UB_X = IntArr.GetUpperBound(0);
        int UB_Y = StrList.Count - 1;

        int[,] WillReturn = new int[UB_X + 1, UB_Y + 1];

        for (int Y = 0; Y <= UB_Y; Y++) {
            SplitAct(StrList[Y]);
            for (int X = 0; X <= UB_X; X++) {
                WillReturn[X, Y] = IntArr[X];
            }
        }
        return WillReturn;
    }
}

#region PQueue
// 優先度付きキュー
internal class PQueue
{
    internal struct PQueueJyoutaiDef
    {
        internal int CurrX;
        internal int CurrY;
        internal int SumCost;
        internal int CurrKind;
    }

    private Dictionary<int, PQueueJyoutaiDef> mHeapDict = new Dictionary<int, PQueueJyoutaiDef>();

    internal bool IsEmpty()
    {
        return mHeapDict.Count == 0;
    }

    // エンキュー処理
    internal void Enqueue(PQueueJyoutaiDef pAddJyoutai)
    {
        int CurrNode = 1 + mHeapDict.Count;
        mHeapDict[CurrNode] = pAddJyoutai;

        while (1 < CurrNode && mHeapDict[CurrNode / 2].SumCost > mHeapDict[CurrNode].SumCost) {
            PQueueJyoutaiDef Swap = mHeapDict[CurrNode];
            mHeapDict[CurrNode] = mHeapDict[CurrNode / 2];
            mHeapDict[CurrNode / 2] = Swap;

            CurrNode /= 2;
        }
    }

    // デキュー処理
    internal PQueueJyoutaiDef Dequeue()
    {
        PQueueJyoutaiDef TopNode = mHeapDict[1];
        int LastNode = mHeapDict.Count;
        mHeapDict[1] = mHeapDict[LastNode];
        mHeapDict.Remove(LastNode);

        MinHeapify(1);
        return TopNode;
    }

    // 根ノードを指定し、根から葉へヒープ構築
    private void MinHeapify(int pRootNode)
    {
        if (mHeapDict.Count <= 1) {
            return;
        }

        int Left = pRootNode * 2;
        int Right = pRootNode * 2 + 1;

        // 左の子、自分、右の子で値が最小のノードを選ぶ
        int Smallest = mHeapDict[pRootNode].SumCost;
        int SmallestNode = pRootNode;

        if (mHeapDict.ContainsKey(Left) && mHeapDict[Left].SumCost < Smallest) {
            Smallest = mHeapDict[Left].SumCost;
            SmallestNode = Left;
        }
        if (mHeapDict.ContainsKey(Right) && mHeapDict[Right].SumCost < Smallest) {
            Smallest = mHeapDict[Right].SumCost;
            SmallestNode = Right;
        }

        // 子ノードのほうが大きい場合
        if (SmallestNode != pRootNode) {
            PQueueJyoutaiDef Swap = mHeapDict[SmallestNode];
            mHeapDict[SmallestNode] = mHeapDict[pRootNode];
            mHeapDict[pRootNode] = Swap;

            // 再帰的に呼び出し
            MinHeapify(SmallestNode);
        }
    }
}
#endregion


解説

ダイクストラ法の使用にあたって、辺を減らすことを考えます。

まず、
移動に種類を付けて分類し。
Y座標を1以上減らす移動を移動パターン2
その他の移動を移動パターン1 とします。

移動パターン2の移動は、初回は、コスト2
次以降は移動パターン2の移動が連続していれば、コスト1
として辺を減らすことができます。

後は、ダイクストラ法を使えば良いです。
ただし、コストが同じであれば、移動パターン2の移動をしているほうが得なので
コスト * 10 + (移動パターン1なら1 、移動パターン2なら0 )
とした値をプライオリティキューにEnqueueして、
Dequeueした時に、10で割ってます。