2-3 命題が成立した状態での、同値変形

ブール代数パズル

命題 P⇒Q
が成立するなら、ブール代数の同値変形で以下の変形が行えます

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１  P*Q=P   (QはPであるための必要条件なので、QかつPは、Pと同値)

例えば、
変数Xが4の倍数であることをP
変数Xが2の倍数であることをQ
とすると、P⇒Qが成立
よって、
P*Q=P より
変数Xが4の倍数、かつ、変数Xが2の倍数である  ⇔  変数Xが4の倍数である

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２  Q+P=Q   (QはPであるための必要条件なので、QまたはPは、Qと同値)

例えば、
変数Xが4の倍数であることをP
変数Xが2の倍数であることをQ
とすると、P⇒Qが成立
よって、
Q+P=Q より
変数Xが2の倍数、または、変数Xが4の倍数である  ⇔  変数Xが2の倍数である

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３  P + Q = 1  (Q=Q+Pなので補元法則より)

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４  P * Q = 0  (P=P*Qなので補元法則より)

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５  １と２と３と４に、双対の原理を使ったもの

使用例

■■■使用例1■■■
命題 A⇒B が成立する場合

A*B = A     (BはAであるための必要条件なので、BかつAは、Aと同値)
B + A = B   (BはAであるための必要条件なので、BまたはAは、Bと同値)

A⇒B の対偶
Bが偽⇒Aが偽 も成立するので
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B*A = B
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B + A = 1
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A + B = A

■■■使用例2■■■
命題 Aが偽⇒B が成立する場合
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A*B = A
    _
A + B = A  (ドモルガンの法則)

A + B = 1
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B + A = B

Aが偽⇒B の対偶
Bが偽⇒A も成立するので
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B*A = B

■■■使用例3■■■
命題 A⇒Bが偽 が成立する場合
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A*B = A
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A + B = A    (ドモルガンの法則)

A⇒Bが偽 の対偶
B⇒Aが偽 も成立するので
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B*A = B
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B + A = B    (ドモルガンの法則)

■■■使用例4■■■
命題 Aが偽⇒Bが偽 が成立する場合
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A*B = A

A+B = A
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B + A = B

Aが偽⇒Bが偽 の対偶
B⇒A も成立するので

B*A = B