2-4 真の場合と、偽の場合で、場合分け

ブール代数パズル

ブール代数の変形を、するうえで、
真の場合と、偽の場合で、場合分け
すると簡単に変形できることがあります。

使用例

1-4 ブール代数の計算ドリルの34問目
       _          _
(A+B)*(A+C) = A*C+A*B

これの解法を考えます。


解法1
ベン図を使う。
カルノー図を使う。
クワイン法を使う。

解法2
2の3乗通りの0と1の組み合わせを列挙して、
右辺と左辺の結果が全て等しいことを確認する


解法3
         _
  (A+B)*(A+C)
      _
= A*C+A*B+B*C

命題が成立した状態での、論理和
を使って

B*C をP
    _
A*C+A*B をQ
とおくと、
             _
B*C=1 ⇒ A*C+A*B = 1
よって
命題 P ⇒ Q
が成立するので、
P+Q= Q
が成立

よって、
      _
  A*C+A*B+B*C
      _
= A*C+A*B


解法4

なぜ場合分けが必要か
場合分けを使って、
真の場合と、偽の場合で、場合分けを行って、
最後に統合する。

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場合1 A=1の場合
         _
  (A+B)*(A+C)
= (1+B)*(0+C)
= C

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場合2 A=0の場合
         _
  (A+B)*(A+C)
= (0+B)*(1+C)
= B

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場合1と場合2を統合して、
       _         _
(A+B)*(A+C) =A*C+A*B