E8本(数学) 077 Distance Sum

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C#のソース

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

class Program
{
    static string InputPattern = "InputX";

    static List<string> GetInputList()
    {
        var WillReturn = new List<string>();

        if (InputPattern == "Input1") {
            WillReturn.Add("2");
            WillReturn.Add("1 2");
            WillReturn.Add("10 20");
            //27
        }
        else {
            string wkStr;
            while ((wkStr = Console.ReadLine()) != null) WillReturn.Add(wkStr);
        }
        return WillReturn;
    }

    struct PointDef
    {
        internal long X;
        internal long Y;
    }
    static long UB;

    static void Main()
    {
        List<string> InputList = GetInputList();

        long[] wkArr = { };
        Action<string> SplitAct = pStr =>
            wkArr = pStr.Split(' ').Select(pX => long.Parse(pX)).ToArray();

        var PointList = new List<PointDef>();
        foreach (string EachStr in InputList.Skip(1)) {
            SplitAct(EachStr);
            PointDef WillAdd;
            WillAdd.X = wkArr[0];
            WillAdd.Y = wkArr[1];
            PointList.Add(WillAdd);
        }
        UB = PointList.Count - 1;

        long[] XArr = PointList.Select(pX => pX.X).ToArray();
        long[] YArr = PointList.Select(pX => pX.Y).ToArray();

        long SumX = DeriveSum(XArr);
        long SumY = DeriveSum(YArr);
        Console.WriteLine(SumX + SumY);
    }

    static long DeriveSum(long[] pArr)
    {
        long Sum = 0;

        Array.Sort(pArr);
        long LeftCnt = 1;
        long RightCnt = pArr.Length - 1;

        for (long I = 0; I <= UB - 1; I++) {
            long PairInd = I + 1;
            Sum += (pArr[PairInd] - pArr[I]) * LeftCnt * RightCnt;
            LeftCnt++;
            RightCnt--;
        }
        return Sum;
    }
}

解説

全ての点の組み合わせのマンハッタン距離の総和なので
X成分とY成分を独立して考えます。

X成分だけで
1 2 3 4 5
という5つの座標で考察すると
線分12を使う点のペアは、積の法則で1*4で4通り
線分23を使う点のペアは、積の法則で2*3で6通り
線分34を使う点のペアは、積の法則で3*2で6通り
線分45を使う点のペアは、積の法則で4*1で4通り
といった方法で求めることができます。