ABC214-D Sum of Maximum Weights

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using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

class Program
{
    static string InputPattern = "InputX";

    static List<string> GetInputList()
    {
        var WillReturn = new List<string>();

        if (InputPattern == "Input1") {
            WillReturn.Add("3");
            WillReturn.Add("1 2 10");
            WillReturn.Add("2 3 20");
            //50
        }
        else if (InputPattern == "Input2") {
            WillReturn.Add("5");
            WillReturn.Add("1 2 1");
            WillReturn.Add("2 3 2");
            WillReturn.Add("4 2 5");
            WillReturn.Add("3 5 14");
            //76
        }
        else {
            string wkStr;
            while ((wkStr = Console.ReadLine()) != null) WillReturn.Add(wkStr);
        }
        return WillReturn;
    }

    struct UVWInfoDef
    {
        internal long FromNode;
        internal long ToNode;
        internal long Cost;
    }

    static void Main()
    {
        List<string> InputList = GetInputList();

        long[] wkArr = { };
        Action<string> SplitAct = pStr =>
            wkArr = pStr.Split(' ').Select(pX => long.Parse(pX)).ToArray();

        long N = int.Parse(InputList[0]);

        var UVWInfoList = new List<UVWInfoDef>();
        foreach (string EachStr in InputList.Skip(1)) {
            SplitAct(EachStr);
            long FromNode = wkArr[0];
            long ToNode = wkArr[1];
            long Cost = wkArr[2];

            UVWInfoDef WillAdd;
            WillAdd.FromNode = FromNode;
            WillAdd.ToNode = ToNode;
            WillAdd.Cost = Cost;
            UVWInfoList.Add(WillAdd);
        }

        var InsUnionFindSizeInfo = new UnionFindSizeInfo();
        for (long I = 1; I <= N; I++) {
            InsUnionFindSizeInfo.MakeSet(I);
        }

        long Answer = 0;

        // 辺のコストの昇順に、辺の両端を合併
        foreach (UVWInfoDef EachUVWInfo in UVWInfoList.OrderBy(pX => pX.Cost)) {
            long Node1 = EachUVWInfo.FromNode;
            long Node2 = EachUVWInfo.ToNode;

            long Tree1Root = InsUnionFindSizeInfo.FindSet(Node1);
            long Tree1Size = InsUnionFindSizeInfo.GetSize(Node1);

            long Tree2Root = InsUnionFindSizeInfo.FindSet(Node2);
            long Tree2Size = InsUnionFindSizeInfo.GetSize(Node2);

            // 別々の木を合併させる場合
            if (Tree1Root != Tree2Root) {
                InsUnionFindSizeInfo.Unite(Node1, Node2);

                // 場合の数の積の法則
                Answer += EachUVWInfo.Cost * Tree1Size * Tree2Size;
            }
        }
        Console.WriteLine(Answer);
    }
}

// UnionFindSizeInfoクラス
internal class UnionFindSizeInfo
{
    private class NodeInfoDef
    {
        internal long ParentNode;
        internal long Rank;
        internal long Size;
    }
    private Dictionary<long, NodeInfoDef> mNodeInfoDict =
        new Dictionary<long, NodeInfoDef>();

    // 要素が1つである木を森に追加
    internal void MakeSet(long pNode)
    {
        NodeInfoDef WillAdd = new NodeInfoDef();
        WillAdd.ParentNode = pNode;
        WillAdd.Rank = 0;
        WillAdd.Size = 1;
        mNodeInfoDict[pNode] = WillAdd;
    }

    // 合併処理
    internal void Unite(long pX, long pY)
    {
        long XNode = FindSet(pX);
        long YNode = FindSet(pY);

        // 既に同じ木の場合
        if (XNode == YNode) return;

        long XRank = mNodeInfoDict[XNode].Rank;
        long YRank = mNodeInfoDict[YNode].Rank;

        if (XRank > YRank) {
            mNodeInfoDict[YNode].ParentNode = XNode;
            mNodeInfoDict[XNode].Size += mNodeInfoDict[YNode].Size;
        }
        else {
            mNodeInfoDict[XNode].ParentNode = YNode;
            mNodeInfoDict[YNode].Size += mNodeInfoDict[XNode].Size;
            if (XRank == YRank) {
                mNodeInfoDict[YNode].Rank++;
            }
        }
    }

    // ノードを引数として、木の根を取得
    internal long FindSet(long pTargetNode)
    {
        // 根までの経路上のノードのList
        var PathNodeList = new List<long>();

        long CurrNode = pTargetNode;
        while (CurrNode != mNodeInfoDict[CurrNode].ParentNode) {
            PathNodeList.Add(CurrNode);
            CurrNode = mNodeInfoDict[CurrNode].ParentNode;
        }

        // 経路圧縮 (親ポインタの付け替え)
        foreach (long EachPathNode in PathNodeList) {
            mNodeInfoDict[EachPathNode].ParentNode = CurrNode;
        }
        return CurrNode;
    }

    // ノードを引数として、木のサイズを取得
    internal long GetSize(long pNode)
    {
        long RootNode = FindSet(pNode);
        return mNodeInfoDict[RootNode].Size;
    }

    internal void DebugPrint()
    {
        foreach (var EachPair in mNodeInfoDict.OrderBy(pX => pX.Key)) {
            Console.WriteLine("mNodeInfoDict[{0}].ParentNode={1}",
                EachPair.Key, EachPair.Value.ParentNode);
        }
    }
}

解説

コストの昇順に枝を増やしていきます。

増やした枝を使う経路数は、
場合の数の積の法則で分かります。